Số dư của một khoản vay với các khoản thanh toán hàng tháng được tăng cường bởi các tính phí lãi vay hàng tháng và được giảm thanh toán để

B k + 1 = ( 1 + r ) B k − p {\displaystyle B_{k+1}={\big (}1+r{\big )}B_{k}-p} ,

ở đây

i = lãi suất vay/100 = lãi suất hàng năm theo hình thức thập phân (ví dụ 10% = 0.10 lãi suất vay này là lãi suất được dùng để tính các khoản trả và số dư.)r = lãi suất kỳ hạn = i/12 cho các trả lãi hàng tháng (customary usage for convenience)B0 = Số dư ban đầu (tiền gốc của khoản vay)Bk = số dư sau k lần trả lãik = chỉ số số dưp = kỳ hạn trả lãi (hàng tháng)

Bằng sự thay thế lặp đi lặp lại một biểu thức có được cho Bk, đó là tỷ lệ tuyến tính đối với B0 và p và sử dụng công thức này cho tổng số một phần của một chuối hình học kết quả trong

B k = ( 1 + r ) k B 0 − ( 1 + r ) k − 1 r p {\displaystyle B_{k}=(1+r)^{k}B_{0}-{\frac {(1+r)^{k}-1}{r}}p}

A solution of this expression for p in terms of B0 and Bn reduces to

p = r [ ( 1 + r ) n B 0 − B n ( 1 + r ) n − 1 ] {\displaystyle p=r{\Bigg [}{\frac {(1+r)^{n}B_{0}-B_{n}}{(1+r)^{n}-1}}{\Bigg ]}}

Để việc trả lãi, nếu khoản vay sẽ được hoàn thành trong n trả lãi xác lập Bn = 0.

Hàm PMT được tìm thấy trong các chương trình bảng tính có thể được sử dụng để tính toán lãi vay hàng tháng của một khoản vay:

p = P M T ( r a t e , n u m , P V , F V , ) = P M T ( r , n , − B 0 , B n , ) {\displaystyle p=PMT(rate,num,PV,FV,)=PMT(r,n,-B_{0},B_{n},)\;}

Một trả lãi chỉ bao gồm lãi vay trên số dư hiện có sẽ là

p I = r B {\displaystyle p_{I}=rB} .

Lãi vay tổng cộng, IT, được trả cho khoản vay này là

I T = n p − B 0 {\displaystyle I_{T}=np-B_{0}} .

Các công thức cho một chương trình tiết kiệm thông thường là tương tự nhưng các khoản trả được thêm vào số dư thay vì bị trừ đi và công thức cho thanh toán bị âm của một ở trên. Các công thức này chỉ là xấp xỉ vì số dư nợ thực tế bị ảnh hưởng bằng cách làm tròn. Để tránh trả thiếu vào cuối khoản vay, thanh toán này phải được làm tròn đến hàng phàn trăm tiếp theo. Thanh toán cuối cùng sau đó sẽ là (1+r)Bn-1.

Xem xét một khoản vay tương tự nhưng với một kỳ hạn mới bằng các kỳ hạn k của vấn đề trên. Nếu rk và pk là lãi suất và trả lãi mới, nay chúng ta có

B k = B 0 ′ = ( 1 + r k ) B 0 − p k {\displaystyle B_{k}=B'_{0}=(1+r_{k})B_{0}-p_{k}} .

Comparing this with the expression for Bk above we note that

r k = ( 1 + r ) k − 1 {\displaystyle r_{k}=(1+r)^{k}-1}

and

p k = p r r k {\displaystyle p_{k}={\frac {p}{r}}r_{k}} .

The last equation allows us to define a constant that is the same for both problems,

B ∗ = p r = p k r k {\displaystyle B^{*}={\frac {p}{r}}={\frac {p_{k}}{r_{k}}}}

and Bk can be written as

B k = ( 1 + r k ) B 0 − r k B ∗ {\displaystyle B_{k}=(1+r_{k})B_{0}-r_{k}B^{*}} .

Solving for rk we find a formula for rk involving known quantities and Bk, the balance after k periods,

r k = B 0 − B k B ∗ − B 0 {\displaystyle r_{k}={\frac {B_{0}-B_{k}}{B^{*}-B_{0}}}}

Since B0 could be any balance in the loan, the formula works for any two balances separate by k periods and can be used to compute a value for the annual interest rate.

B* is a scale invariant since it does not change with changes in the length of the period.

Rearranging the equation for B* one gets a transformation coefficient (scale factor),

λ k = p k p = r k r = ( 1 + r ) k − 1 r = k [ 1 + ( k − 1 ) r 2 + ⋯ ] {\displaystyle \lambda _{k}={\frac {p_{k}}{p}}={\frac {r_{k}}{r}}={\frac {(1+r)^{k}-1}{r}}=k[1+{\frac {(k-1)r}{2}}+\cdots ]} (see binomial theorem)

and we see that r and p transform in the same manner,

r k = λ k r {\displaystyle r_{k}=\lambda _{k}r\;} p k = λ k p {\displaystyle p_{k}=\lambda _{k}p\;}

Sự thay đổi trong số dư biến đổi tương tự như vậy

Δ B k = B ′ − B = ( λ k r B − λ k p ) = λ k Δ B {\displaystyle \Delta B_{k}=B'-B=(\lambda _{k}rB-\lambda _{k}p)=\lambda _{k}\Delta B\;}

cung cấp cho một cái nhìn sâu sắc về ý nghĩa của một số các hệ số được tìm thấy trong các công thức trên. Lãi suất hàng năm, r12, giả định chỉ có một trả lãi mỗi năm và không phải là một lãi suất "hiệu quả" cho các trả lãi hàng tháng. Với các trả lãi hàng tháng lãi vay hàng tháng được chi trả mỗi lần trả lãi và do đó không nên bị tính lãi kép và lãi suất hàng năm là 12·r sẽ có ý nghĩa hơn. Nếu một chỉ thực hiện các trả lãi chỉ gồm lãi vay số tiền nộp trong năm sẽ là 12·r·B 0.

Thay thế pk = rk B* vào phương trình cho Bk chúng ta có được,

B k = B 0 − r k ( B ∗ − B 0 ) {\displaystyle B_{k}=B_{0}-r_{k}(B^{*}-B_{0})\;}

Since Bn = 0 we can solve for B*,

B ∗ = B 0 ( 1 r n + 1 ) {\displaystyle B^{*}=B_{0}{\bigg (}{\frac {1}{r_{n}}}+1{\bigg )}} .

Substituting back into the formula for the Bk shows that they are a linear function of the rk and therefore the λk,

B k = B 0 ( 1 − r k r n ) = B 0 ( 1 − λ k λ n ) {\displaystyle B_{k}=B_{0}{\bigg (}1-{\frac {r_{k}}{r_{n}}}{\bigg )}=B_{0}{\bigg (}1-{\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{n}}}{\bigg )}}

Đây là cách dễ nhất để ước tính số dư nếu λk được biết. Bằng cách trừ vào công thức thứ nhất đối với Bk bên trên và giải cho λk+1 chúng ta được,

λ k + 1 = 1 + ( 1 + r ) λ k {\displaystyle \lambda _{k+1}=1+(1+r)\lambda _{k}\;}

λ0 và λn có thể tìm thấy bằng công thức cho λk bên trên hoặc bằng tính toán λk ngược từ λ0 = 0 tới λn.

Vì p=rB* công thức cho trả lãi này rút lại thành,

p = ( r + 1 λ n ) B 0 {\displaystyle p={\bigg (}r+{\frac {1}{\lambda _{n}}}{\bigg )}B_{0}}

và lãi suất trung bình suốt kỳ hạn của khoản vay là

r l o a n = I T n B 0 = r + 1 λ n − 1 n {\displaystyle r_{loan}={\frac {I_{T}}{nB_{0}}}=r+{\frac {1}{\lambda _{n}}}-{\frac {1}{n}}} ,

nhỏ hơn r nếu n>1.